Вращающиеся векторы, а следовательно, и изображаемые ими синусоидальные величины можно выражать комплексными числами.

Допустим, что требуется представить комплексом ток, амплитуда которого , а начальная фаза , т.е.:

. (2.34)

Изобразим на комплексной плоскости под углом к положительной полуоси действительных величин вектор

, (2.35)

длиной , повернутый относительно оси действительных величин на угол (рис. 2.11). Если этот вектор вращать в положительном направлении с угловой скоростью ω, то мгновенное значение тока i изобразится проекцией вращающегося вектора на мнимую ось; это условно можно записать так:

.

Рис. 2.11. Вектор тока на комплексной плоскости

Взаимное расположение векторов на векторной диаграмме с течением времени не изменяется; поэтому нет необходимости вращать векторы при изображении синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости. Достаточно изобразить векторы в начальный момент времени, т.е. представить их комплексами. Например, ток i (2.34) можно представить в символической записи (2.35).

С учетом того, что на векторных диаграммах обычно откладывают не амплитуды, а действующие значения синусоидальных величин, комплексное значение тока, или комплекс тока, запишется в виде

(отсутствие индекса m указывает на то, что записано действующее значение комплексной величины).

Аналогично выполняется символическая запись напряжения.

Если

, (2.36)

то комплекс напряжения

(2.37)

Частное от деления комплекса напряжения на выводах цепи (ветви) на комплекс тока называется комплексным сопротивлением цепи и обозначается , т.е.:

(2.38)

или

, (2.39)

где - активное сопротивление; – реактивное сопротивление и – полное сопротив­ление.

Переписав выражение (2.38), получим закон Ома в комплексной форме:

. (2.40)

Комплексное сопротивление и его действительная и мнимая составляющие могут быть представлены на комплексной плоскости (рис. 2.12) в виде треугольника сопротивлений, в данном случае для rL – цепи.

Рис. 2.12. Треугольник сопротивлений rL – цепи

Модуль комплексного сопротивления, обозначенный строчной буквой z, определяется по формуле

,

а аргумент – через его синус или тангенс:

т.е. φ>0.

Из (2.40) напряжение на выводах цепи

.

Первое слагаемое этого выражения представляет собой комплексное напряжение на активном сопротивлении. Это напряжение совпадает по фазе с током (рис. 2.13), и, естественно, комплексы и имеют одинаковый аргумент, равный нулю.

Рис. 2.13. Векторная диаграмма rL – цепи

Второе слагаемое – комплексное напряжение на индуктивности , аргумент которого равен 90° (напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90°). Таким образом, множитель i в выражении показывает, что на индуктивности между напряжением и током имеется сдвиг фаз 90°.

Для неразветвленной цепи с активным сопротивлением и емкостью (рис. 2.14) при напряжение , где , комплексное сопротивление

, (2.41)

где x= -xC; , т.е. φ<0.

Рис. 2.14. Цепь с сопротивлением и емкостью

Треугольник сопротивлений показан на рис. 2.15.

Напряжение на емкости

отстает по фазе от тока на 90° (рис. 2.16).

Напряжение на выводах цепи:

Рис. 2.15. Треугольник сопротивлений rC – цепи

Рис. 2.16. Векторная диаграмма rC – цепи

Необходимо обратить внимание на то, что комплекс не зависит от выбора начальной фазы тока или напряжения. Например, для rL–цeпи при любой начальной фазе тока напряжение будет опережать ток цепи на угол φ, тангенс которого равен отношению xL/r. Действительно, выбрав у тока начальную фазу ψ (2.34), т.е. приняв , запишем напряжение (2.36) , которое должно по-прежнему опережать ток на тот же угол φ, так как имеет то же значение, что и при нулевой начальной фазе. Следовательно, и комплексное сопротивление

. (2.42)

При расчетах разветвленных цепей часто вводят комплексную проводимость – величину, обратную комплексному сопротивлению:

, (2.43)

где - активная проводимость; - реактивная проводимость.

Например, для последовательной rL–цeпи комплексная проводимость (рис. 2.17)

,

где активная проводимость и индуктивная bL определяют по выражениям:

Рис. 2.17. Треугольник проводимостей rL – цепи

Модуль комплексной проводимости можно определить по формуле

,

а аргумент – через его синус или тангенс:

откуда видно, что φ>0, т.е. напряжение опережает по фазе ток.

Для последовательной rC–цепи комплексная проводимость (рис. 2.18):

,

где активная проводимость g и емкостная bC определяются по следующим выражениям:

Модуль комплексной проводимости

,

а аргумент определяется через синус или тангенс:

откуда следует, что φ<0, т. е. ток опережает по фазе напряжение.

Наконец, для rLC-цeпи можно написать

где активная и реактивная проводимости

угол φ >0 при х>0 или при b>0;

угол φ <0 при x<0 или при b<0.

Пример 2.1. Неразветвленная цепь с активным сопротивлением r= 80 Ом и емкостным сопротивлением хС = 60 Ом находится под напряжением В. Определить ток в цепи.

Решение.

Комплексное сопротивление

[Ом];

Модуль и аргумент этого сопротивления:

[Ом];

То же сопротивление в показательной форме

[Ом].

Ток в цепи

[А];

[А].

Если ток и напряжение цепи выражены в комплексной форме, то активную и реактивную мощности цепи определяют, умножая комплексное напряжение на сопряженный комплексный ток (комплексные величины, имеющие одинаковые модули и равные по абсолютному значению, но противоположные по знаку аргументы, называются сопряженными).

Допустим, что , напряжение , т.е. вектор напряжения опережает вектор тока на угол φ, что при положительном значении угла φ соответствует индуктивной нагрузке.

Произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока представляет мощность в комплексной форме или, комплексную мощность.

(2.44)

Таким образом, действительная часть полученного комплекса выражает активную мощность, а мнимая – реактивную мощность цепи. При емкостной нагрузке, т.е. при φ<0, мнимая часть комплексной мощности имеет отрицательный знак (sinφ<0).

Пример 2.2. Определить активную и реактивную мощности цепи, если ток. А, напряжение В.

Решение.

[B·A];

Р = 1,760 [кВт];

Q= –1,320 [кBар].

• Назад
• Вперёд